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Context free grammar

上下文无关文法小记

维基百科介绍

从CFL可达这个概念了解到了上下文无关文法这个概念

上下文无关文法的形式化定义

A context-free grammar G is defined by the 4-tuple G=(V,Σ,R,S)

V :=非终结符的集合 Σ :=终结符的集合 R :=V * (V U Σ) 一种替换关系（$ A\ \to \ \alpha $ the single nonterminal A A on the left hand side can always be replaced directly* by α on the right hand side） S :=开始符 属于非终结符

文法最后推导出的结果是一串终结符序列 所有非终结符都被直接替换了

编程语言的语法可以使用上下文无关文法来形式化描述

下面是一个简单的例子，展示了一个用于描述算术表达式的上下文无关文法：

Expr -> Expr + Term
      | Expr - Term
      | Term

Term -> Term * Factor
      | Term / Factor
      | Factor

Factor -> (Expr)
        | Number

Number -> digit+
####在上下文无关文法中，digit+ 表示一个或多个数字字符。具体而言，digit 是一个符号，表示单个数字字符（0 到 9 中的任意一个数字）。而 + 是正闭包操作符，表示前面的元素（这里是 digit）可以重复出现一次或多次

tips about closure form gpt

Person: 
- 为什么是并集的 Kleene 闭包 而不是直接是并集

ChatGPT: 
- 在上下文无关文法（CFG）中，使用 (V∪Σ)∗(V \cup \Sigma)^*(V∪Σ)∗ 表示 VVV 和 Σ\SigmaΣ 的并集的 Kleene 闭包的原因是为了表示可重复的符号序列，包括可以为空串的情况。 
- **）：**  表示可以重复零次或多次。在这里，(V∪Σ)∗(V \cup \Sigma)^*(V∪Σ)∗ 表示 VVV 和 Σ\SigmaΣ 中的符号可以重复出现零次或多次，即生成的字符串可以是包含 VVV 中的非终结符、Σ\SigmaΣ 中的终结符和空串的任意数量的序列。 
- **）：**  表示取两个集合的并集。在这里，V∪ΣV \cup \SigmaV∪Σ 表示非终结符集合 VVV 和终结符集合 Σ\SigmaΣ 的并集，即文法中可以使用的所有符号。

将两者结合起来，(V∪Σ)∗(V \cup \Sigma)^*(V∪Σ)∗ 表示由 VVV 和 Σ\SigmaΣ 中的符号构成的任意数量的序列，包括空串。这是因为 Kleene 闭包允许零次的重复，因此可以生成空串。

如果直接使用 V∪ΣV \cup \SigmaV∪Σ 而不是 Kleene 闭包，那么规则只能生成一个符号，而不允许多个符号的序列。这不符合在语法中描述可重复的结构的需求。因此，使用 Kleene 闭包更加灵活，使得文法可以生成各种可能的符号序列，包括空串。

Person: 
- 集合的闭包是怎么计算的  给出具体实例  如集合{a,b,c}

ChatGPT: 
- 在集合论中，一个集合 AAA 的**闭包** 通常是包含 AAA 中所有元素及其导出的所有可能元素的集合。闭包可以是在某种运算下生成的，这个运算通常包括原始集合的元素，以及这些元素经过某种操作得到的新元素。

具体来说，有一些常见的闭包运算，例如传递闭包和代数闭包，它们可以用来计算集合的闭包。
### 1. 传递闭包：

假设有一个关系 RRR，RRR 的传递闭包（transitive closure）是包含所有 RRR 的传递性元素的最小关系。传递闭包通常用来扩展关系，使得关系变得传递。如果关系是集合的元素对，那么传递闭包是包含所有直接或间接相关的元素对的集合。

举个例子，考虑关系 R={(a,b),(b,c)}R = \{(a, b), (b, c)\}R={(a,b),(b,c)}。它的传递闭包是 {(a,b),(b,c),(a,c)}\{(a, b), (b, c), (a, c)\}{(a,b),(b,c),(a,c)}，包含了所有直接或间接相关的元素对。
### 2. 代数闭包：

假设有一组操作（例如加法、乘法等），集合的代数闭包是在这组操作下生成的最小代数结构。代数闭包通常包含原始集合及其经过操作生成的所有可能元素。

举个例子，考虑集合 {a,b,c}\{a, b, c\}{a,b,c}，如果我们考虑集合上的整数加法操作，那么代数闭包将包含所有通过加法操作生成的整数，比如 a+ba + ba+b、b+cb + cb+c、a+ca + ca+c 等。

需要注意的是，闭包的具体定义取决于所采用的闭包运算。不同的运算可能会产生不同的闭包。在实际问题中，要根据具体的上下文来选择适当的闭包运算。

Person: 
- 字符串的闭包

ChatGPT: 
- 在形式语言理论中，字符串的闭包通常指的是某个字符串集合在某个操作下的闭包，其中最常见的操作是字符串的连接操作。

具体来说，给定一个字符串集合 SSS，它的闭包（concatenation closure）是包含所有通过连接 SSS 中字符串得到的字符串的集合。这个闭包通常表示为 S∗S^*S∗。

形式上，字符串集合 SSS 的闭包 S∗S^*S∗ 定义为：

S∗={w1w2…wk∣wi∈S,k≥0}S^* = \{ w_1 w_2 \ldots w_k \mid w_i \in S, k \geq 0 \}S∗={w1​w2​…wk​∣wi​∈S,k≥0}

这里的连接操作是将字符串 w1,w2,…,wkw_1, w_2, \ldots, w_kw1​,w2​,…,wk​ 按顺序连接起来，得到一个新的字符串。

举个例子，假设 S={a,b}S = \{a, b\}S={a,b}，那么 S∗S^*S∗ 就是包含所有由 aaa 和 bbb 连接而成的字符串的集合，包括空串。具体地，S∗S^*S∗ 包含的一些字符串如下： 
- ε\varepsilonε （空串） 
- aaa 
- bbb 
- aaaaaa 
- ababab 
- bababa 
- bbbbbb 
- aaaaaaaaa 
- aabaabaab 
- abaabaaba 
- abbabbabb 
- …\ldots…

这些字符串包含了 aaa 和 bbb 所有可能的排列组合，以及它们的重复。这就是字符串集合 SSS 的闭包 S∗S^*S∗。
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