动态规划
You:
动态规划做题步骤
ChatGPT:
动态规划（DP）是一种通过分解问题成重叠子问题来求解最优解的方法。下面是动态规划做题的一般步骤：
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明确问题与目标
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理解题意：清楚输入、输出及问题要求。
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确定特性：确认问题是否具有最优子结构（最优解可以由子问题的最优解构成）和重叠子问题的特点。
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分析子问题
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拆分问题：将原问题分解成若干子问题。
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子问题之间的关系：找出各个子问题之间的依赖关系，确定它们如何相互影响。
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定义状态
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状态表示：明确用
dp数组（或变量）表示子问题的解。例如，dp[i]可能表示到第i天/步/位置时的最优解。 -
状态的维度：有时问题需要多维状态，比如二维数组
dp[i][j]，用于表示多个变量的状态。
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确定状态转移方程
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递推关系：推导出如何利用之前计算的子问题结果得到当前问题的解，即状态之间的转换公式。
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数学表达：用数学公式准确描述状态转移的过程，例如
dp[i] = max(dp[i-1], prices[i] - minprice)表示当天的最大利润要么等于前一天的利润，要么是当天卖出与之前最低买入价之差的较大值。
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确定初始状态（Base Case）
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初始化：为
dp数组或变量设置初始值，比如dp[0]或minprice = prices[0]。 -
边界条件：处理输入为空或特殊情况，确保递推公式从初始状态开始正确执行。
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确定计算顺序
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依赖顺序：根据子问题之间的依赖关系，确定填表（或计算）的顺序。通常是从小规模问题开始逐步扩展到原问题。
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迭代还是递归：选择用递归（配合备忘录）还是迭代的方式实现动态规划。
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实现代码并优化
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编码：按照前面的步骤将状态定义、状态转移方程和初始状态实现出来。
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空间优化：如果发现某些状态只依赖于前一状态，可以用变量替换数组，将空间复杂度从 O(n) 优化到 O(1)。
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测试与验证
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边界测试：考虑所有边界情况，确保代码健壮。
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样例验证：使用示例数据检验结果是否正确。
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按照这些步骤，你可以系统性地思考和解决大部分动态规划问题。
You:
最优子结构和重叠子问题 是什么意思
ChatGPT:
最优子结构和重叠子问题是动态规划问题的两个重要性质，它们帮助我们判断一个问题是否适合使用动态规划来解决。
最优子结构¶
定义：
如果一个问题的最优解可以由其子问题的最优解构成，那么这个问题就具有最优子结构性质。
举例说明：
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最短路径问题：假设你要找从 A 点到 D 点的最短路径，如果路径经过 B 和 C，那么 A 到 D 的最短路径必然是由 A 到 B、B 到 C 和 C 到 D 各段的最短路径构成。
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背包问题：在 0-1 背包问题中，若知道在前几件物品中如何获得最大价值，那么在加入第 i 件物品时，可以基于前 i-1 件物品的最优结果构建整体最优解。
总结：
最优子结构意味着全局最优解依赖于局部最优解。当我们能够将问题拆解成若干子问题并且知道子问题的最优解时，就可以组合出原问题的最优解。
重叠子问题¶
定义：
如果在分解问题时，很多子问题被重复计算了，那么这些子问题就是重叠子问题。
举例说明：
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斐波那契数列：计算
F(n) = F(n-1) + F(n-2)时，会多次计算F(n-2)、F(n-3)等子问题。如果直接用递归算法，会造成大量重复计算。 -
路径计数问题：在网格中求从左上角到右下角的路径数，每个位置的路径数可以通过它上方和左边的路径数计算得出，这些中间结果会被多次使用。
总结：
重叠子问题意味着子问题在计算过程中会被反复求解。动态规划正是利用记忆化或自底向上填表的方式，避免重复计算，从而提高效率。
结合两者：
当一个问题既具有最优子结构（全局最优可以由局部最优构成），又存在重叠子问题（部分子问题重复出现）时，就非常适合使用动态规划来求解。动态规划通过存储子问题的答案，避免了重复计算，同时利用子问题的最优解构建全局最优解。
